行列式（determinant）

1.二阶行列式

将a,b,c,d四个数，写成这种式子：∣abcd∣\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}

就称为一个二阶行列式（second-order determinant）。二阶指的是有两行、两列。

一般也会用带有下标的变量表示：：∣a11a12a21a22∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}
下标第一个数称为行标；表示这个数在第几行。
下标第二个数称为列标；表示这个数在第几列。
比如，a21a_{21}表示在第2行第1列。

二阶行列式的按对角线展开

所谓二阶行列式展开，就是将行列式展开成多项式：∣abcd∣=a×d−b×c\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = a \times d - b \times c

我们可以用“对角线法”去求二阶行列式展开后的多项式（polynomial）。

就是用左上角与右下角相乘，再减去左下角与右上角相乘的值，就可以求得二阶行列式的展开式。

展开之后，得到的多项式便为：a×d−b×ca \times d - b \times c 。

可以理解为：二阶行列式就是这个多项式a×d−b×ca \times d - b \times c的简易写法（虽然看上去没简易多少，但继续往下看三阶行列式，就会发现确实简易了。）

2.三阶行列式

∣123456789∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}有3行3列，被称为一个三阶行列式（Tertiary determinant）。

三阶行列式的按对角线展开

同样可以用“对角线法”，求三阶行列式展开后的多项式。

先将上面的行列式，想象成这样：∣123123456456789789∣\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

  1. 先是从左到右：
     
    左上角到右下角： 1×5×91 \times 5 \times 9
    然后下一列：2×6×72 \times 6 \times 7
    再下一列： 3×4×83 \times 4 \times 8
     
    得到3个项，将它们相加：
    1×5×9+2×6×7+3×4×81 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8

  2. 然后从右到左：
     
    右上角到左下角： 3×5×73 \times 5 \times 7
    然后上一列：2×4×92 \times 4 \times 9
    再上一行： 1×6×81 \times 6 \times 8
     
    得到3个项，将它们相加：
    3×5×7+2×4×9+1×6×83 \times 5 \times 7 + 2 \times 4 \times 9 + 1 \times 6 \times 8

  3. 最后，将(1)和(2)相减，就得到三阶行列式的展开式：

∣123456789∣=1×5×9+2×6×7+3×4×8−(3×5×7+2×4×9+1×6×8)\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 - (3 \times 5 \times 7 + 2 \times 4 \times 9 + 1 \times 6 \times 8)

3.排列

在介绍多阶行列式之前，我们需要先了解一下排列(arrange)的概念。

由1,2...n 这n个数组成的一个有序数组，叫n级排列。1,2...n中，每个数都要出现，才算n级排列。（比如[1345]就不是1,2,3,4,5的一个n级排列）

逆序（reverse order）：大数在小数前面，就叫逆序。
比如1,2,3,4有一个n级排列：[4132]，4在1前面，就是逆序。

逆序数（Reverse order number）：排列中存在多少次逆序，就称为一个排列的逆序数。用N(1,2,...n)表示
还是[4132]，4在第1，它比1、3、2都大，所以产生了3次逆序；然后还有3比2大，产生了1次逆序。所以最后算得，[4132]这个排列的逆序数为3+1=4

偶排列（even permutation）：逆序数为偶数的排列

奇排列（odd permutation）：逆序数为奇数的排列

标准排列：逆序数为0的排列。如N(1,2,...n)

对换：排列中的两个数交换位置，就叫对换

对换后，排列的奇偶性会发生改变。

4.n阶行列式

有n行、n列的行列式，就叫n阶行列式。

n阶行列式的展开

如果再用对角线法，也可以，但是麻烦；因此我们从3阶行列式找找规律：

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=a11×a22×a33+a12×a23×a31+a13×a21×a32−(a13×a22×a31+a12×a21×a33+a11×a23×a32)\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11} \times a_{22} \times a_{33} + a_{12} \times a_{23} \times a_{31} + a_{13} \times a_{21} \times a_{32} - (a_{13} \times a_{22} \times a_{31} + a_{12} \times a_{21} \times a_{33} + a_{11} \times a_{23} \times a_{32})

展开后，一共有6个项。
a11×a22×a33a_{11} \times a_{22} \times a_{33}
a12×a23×a31a_{12} \times a_{23} \times a_{31}
a13×a21×a32a_{13} \times a_{21} \times a_{32}
a13×a22×a31a_{13} \times a_{22} \times a_{31}
a12×a21×a33a_{12} \times a_{21} \times a_{33}
a11×a23×a32a_{11} \times a_{23} \times a_{32}

可以看到：
行标的排列都是标准排列（123）；
列标的排列取排列的所有可能。

再看列标的排列：
123 偶排列
231 偶排列
312 偶排列
321 奇排列
213 奇排列
132 奇排列
我们发现，正项（符号为+）的列标的排列都是偶排列；负项（符号为-）的列标的排列都是奇排列。

拓展到n阶行列式，我们便可以根据以上规律，求得n阶行列式的按行展开定义：
行标取标准排列；
列标取排列的所有可能。
不同行不同列取出来的元素相乘，符号由列标排列的奇偶性决定；（列标的排列为偶排列的为正项；列标的排列为奇排列的为负项）

相应的，也会有n阶行列式的按列展开定义，两种定义求出来的多项式，均是对的：
列标取标准排列；
行标取排列的所有可能。
不同行不同列取出来的元素相乘，符号由行标排列的奇偶性决定；（行标的排列为偶排列的为正项；行标的排列为奇排列的为负项）

一般用大写字母D来表示行列式的值（determinant的首字母）；

我们也可以总结得出：n阶行列式展开后多项式有n!项。

5.行列式的性质

性质1（性质2的推论）：两行（列）相等，行列式的值D = 0。

性质2：两行（列）对应成比例，行列式的值D = 0。

性质2的推论：当有一行全为0，行列式的值D = 0。

性质3：某个行列式，有一行为两个值相加，则值可以拆成两个行列式相加的形式。
例子：D=∣1234+55+86+2789∣=∣123456789∣+∣123582789∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4+5 & 5+8 & 6+2 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 8 & 2 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

6.行列式的初等变换

转置

行列式转置，值不变。
D=∣123456789∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} -> DT=∣147258369∣D^T = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}

两行互换

行列式两行互换，值的符号改变。

数乘

某一行都乘以K，等于行列式乘以K。
D=∣1234k5k6k789∣=k∣123456789∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4k & 5k & 6k \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}

某一行乘以一个数，加到另一行上

值不变。

7.行列式的按行展开

【余子式】

假设有以下行列式：D=∣12310456117891213141516∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 10 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

那么它第3行第2列的元素对应的余子式为：M32=∣13104611131516∣M_{32} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 10 \\ 4 & 6 & 11 \\ 13 & 15 & 16\end{vmatrix}

即把行列式D的第3行以及第2列上的元素去掉，得到的新的行列式就为新的余子式，用M32M_{32}表示（3，指第3行；2指第2列）。

【代数余子式】

接上，第3行第2列的元素对应的代数余子式为：A32=(−1)(3+2)∣13104611131516∣A_{32} = (-1)^{(3+2)} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 10 \\ 4 & 6 & 11 \\ 13 & 15 & 16\end{vmatrix}
代数余子式用**AijA_{ij}表示**。

【行列式的第二种定义】

D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAinD = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}

其中，ai1a_{i1} 是指在行列式第i行、第1列的元素，Ai1A_{i1}是指第i行、第1列的元素的代数余子式。

简单来说，就是指行列式的值，等于行列式任意一行的所有元素以及其代数余子式的积的总和。

这种换算，也叫行列式的按行展开。

在按行展开时，选择0比较多的行去展开，计算会比较方便。

【异乘变零定理】

某行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和必定为0。

如何证明？

证明：

假设有D=∣12310456117891213141516∣D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 10 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

第四行元素与第一行的代数余子式异乘：
D′=13×(−1)1+1×∣56118912141516∣+14×(−1)1+2×∣46117912131516∣+15×(−1)1+3×∣45117812131416∣+16×(−1)1+4×∣456789131415∣D' = 13 \times (-1)^{1+1} \times \begin{vmatrix} 5 & 6 & 11 \\ 8 & 9 & 12 \\ 14 & 15 & 16\end{vmatrix} + 14 \times (-1)^{1+2} \times \begin{vmatrix} 4 & 6 & 11 \\ 7 & 9 & 12 \\ 13 & 15 & 16\end{vmatrix} + 15 \times (-1)^{1+3} \times \begin{vmatrix} 4 & 5 & 11 \\ 7 & 8 & 12 \\ 13 & 14 & 16\end{vmatrix} + 16 \times (-1)^{1+4} \times \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 13 & 14 & 15\end{vmatrix}

我们再将D第一行的元素变为第四行，得到一个新的行列式B：
B=∣13141516456117891213141516∣B = \begin{vmatrix} 13 & 14 & 15 & 16 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

对B按第一行展开，我们可以发现，展开式与D'相同：
B=13×(−1)1+1×∣56118912141516∣+14×(−1)1+2×∣46117912131516∣+15×(−1)1+3×∣45117812131416∣+16×(−1)1+4×∣456789131415∣B = 13 \times (-1)^{1+1} \times \begin{vmatrix} 5 & 6 & 11 \\ 8 & 9 & 12 \\ 14 & 15 & 16\end{vmatrix} + 14 \times (-1)^{1+2} \times \begin{vmatrix} 4 & 6 & 11 \\ 7 & 9 & 12 \\ 13 & 15 & 16\end{vmatrix} + 15 \times (-1)^{1+3} \times \begin{vmatrix} 4 & 5 & 11 \\ 7 & 8 & 12 \\ 13 & 14 & 16\end{vmatrix} + 16 \times (-1)^{1+4} \times \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 13 & 14 & 15\end{vmatrix}

根据性质3，B = 0 ，因此有D' = B = 0。

【拉普拉斯定理】

2阶子式：往任意相邻2行、任意相邻2列画1直线，直线交叉的元素形成的一个行列式，就是2阶子式；（k阶同理）

2阶余子式：往任意相邻2行、任意相邻2列画1直线，没有直线经过的元素形成的一个行列式，就是2阶余子式；（k阶同理）

2阶代数余子式：(−1)第一行号+第二行号+第一列号+第二列号(-1)^{第一行号+第二行号+第一列号+第二列号} x 2阶余子式

拉普拉斯定理：取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与k阶代数余子式的乘积之和 = D 。

8.行列式的计算

求行列式的值，有以下比较好的计算思路：

(1)简化成上三角行列式

  • 根据性质2、性质4、性质7，将行列式简化成“上三角行列式”（即对角线以下的元素均为0，不包括对角线上的元素）
  • 行列式的值便等于对角线元素的乘积。

【示例1】

D=∣6121824456117891213141516∣D = \begin{vmatrix} 6 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

要将D变为上三角行列式，我们要做的就是将a21,a31,a32,a41,a42,a43这几个值变为0。

  1. 我们可以先将a11变为1，方便计算。方法是将第一行的元素同时乘以16\frac{1}{6}，得：
    D=6×16×∣6121824456117891213141516∣=6×∣16×616×1216×1816×24456117891213141516∣=6×∣1234456117891213141516∣D = 6 \times \frac{1}{6} \times \begin{vmatrix} 6 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix} = 6 \times \begin{vmatrix} \frac{1}{6} \times 6 & \frac{1}{6} \times 12 & \frac{1}{6} \times 18 & \frac{1}{6} \times 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix} = 6 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

  2. 开始计算。

a21:将第一行的值乘以-4，加到第二行，根据性质7，D的值不变，同时可以将a21变为0；
D=6×∣12344+(−4)5+(−8)6+(−12)11+(−16)7891213141516∣=∣12340−3−6−57891213141516∣D = 6 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 + (-4) & 5 + (-8) & 6 + (-12) & 11 + (-16) \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -6 & -5 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

a31:将第一行的值乘以-7，加到第三行：
D=6×∣12340−3−6−50−6−13−1613141516∣D = 6 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -6 & -5 \\ 0 & -6 & -13 & -16 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

a32:将第二行的值乘以-2，加到第三行：
D=6×∣12340−3−6−500−1−613141516∣D = 6 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -6 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

a41:将第一行的值乘以-13，加到第四行：
D=6×∣12340−3−6−500−1−60−12−24−32∣D = 6 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -6 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \\ 0 & -12 & -24 & -32\end{vmatrix}

a42:将第二行的值乘以-4，加到第四行：
D=6×∣12340−3−6−500−1−6000−12∣D = 6 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -6 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -12\end{vmatrix}

a43:刚好为0，不用计算。（若不为0，则用第3行的值乘以一个数，加到第四行，时a43为0）
D=6×∣12340−3−6−500−1−6000−12∣D = 6 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -3 & -6 & -5 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & -12\end{vmatrix}

  1. 将对角线元素相乘，最终得：D=6×1×−3×−1×−12=−216D = 6 \times 1 \times -3 \times -1 \times -12 = -216

【示例2】
如下行列式，假设a11为0，就无法用上面这种方法，该怎么办？
D=∣0121824456117891213141516∣D = \begin{vmatrix} 0 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}

我们可以根据性质2：两行互换，行列式符号改变，将ai1不为0的行换到第一行，再用上面示例1的方法求值即可。

(2)某一行的0特别多时：

直接对该行某个不为0的元素按行展开，然后计算。

【示例3】

D=∣612182445611080013141516∣D = \begin{vmatrix} 6 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 13 & 14 & 15 & 16\end{vmatrix}
我们可以看到，以下行列式，第3行有很多0，因此，我们可以对a32按行展开：
D=0×A31+8×A32+0×A33+0×A34=8×A32D = 0 \times A31 + 8 \times A32 + 0 \times A33 + 0 \times A34 = 8 \times A32
然后对A32（a32的代数余子式）求值即可。

(3)加边法

略

(4)范德蒙行列式(Vandermonde determinant)

范德蒙行列式：∣1111...1x1x2x3x4...xnx12x22x32x42...xn2...x1n−1x2n−1x3n−1x4n−1...xnn−1∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & ... & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & x_4^2 & ... & x_n^2 \\ ... \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & x_3^{n-1} & x_4^{n-1} & ... & x_n^{n-1}\end{vmatrix}

若行列式满足范德蒙行列式，则它的值 D=∏1<=j<i<=n(xi−xj)D = \prod{}{1<=j<i<=n}(x_i-x_j)

假设有∣1111x1x2x3x4x12x22x32x42x13x23x33x43∣\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & x_4^2 \\ x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & x_4^3 \end{vmatrix}

则它的值D=(x2−x1)×(x3−x1)×(x4−x1)×(x3−x2)×(x4−x2)×(x4−x3)D = (x_2 - x_1) \times (x_3 - x_1) \times (x_4 - x_1) \times (x_3 - x_2) \times (x_4 - x_2) \times (x_4 - x_3)

(5)对称行列式、反对称行列式

D=∣4123135625283681∣D = \begin{vmatrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 & 6 \\ 2 & 5 & 2 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 1\end{vmatrix}
上面是一个对称行列式，它有以下特点：

  • 主对角线上的值可以为任意值
  • 上下元素对应相等，即aij = aji

D=∣0123−1056−2−50−8−3−680∣D = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ -1 & 0 & 5 & 6 \\ -2 & -5 & 0 & -8 \\ -3 & -6 & 8 & 0\end{vmatrix}
上面是一个反对称行列式，它有以下特点：

  • 主对角线上的值都为0
  • 上下元素对应成相反数，即aij = -aji

性质：奇数阶的反对称行列式 ，D = 0

9.克莱姆法则(cramer)

克莱姆法则，是用行列式（或矩阵）的方式，去解n元的方程组。

【定义】
对于一个n元n个方程组，若它的系数行列式不为0，则方程组的解则xi=DiDx_i = \frac{D_i}{D}

【解释】
假设有以下三元方程组：
{x1+x2+x3=1x1−x2+5x3=6−x1+x2+6x3=9\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 + 5x_3 = 6 \\ -x_1 + x_2 + 6x_3 = 9 \\ \end{cases}

我们将方程组的系数，做成一个系数行列式：
D=∣1111−15−116∣D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 5 \\ -1 & 1 & 6 \end{vmatrix}

此时，可以使用克莱姆法则对x1,x2,x3x_1,x_2,x_3求解。
x1=D1Dx_1 = \frac{D_1}{D}
x2=D2Dx_2 = \frac{D_2}{D}
x3=D3Dx_3 = \frac{D_3}{D}

其中 D1D_1 的意思是将方程组等号右边的值(1,6,9)，替换行列式D第1列后，形成的新的行列式：
D1=∣1116−15916∣D_1 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & -1 & 5 \\ 9 & 1 & 6 \end{vmatrix}
同理 D2D_2是替换行列式D第2列后，形成的新的行列式：
D2=∣111165−196∣D_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 6 & 5 \\ -1 & 9 & 6 \end{vmatrix}

但克莱姆法则有使用条件：

  • 必须是n个方程，n个变量
  • D!=0

克莱姆法则计算量比较大，因此一般不使用。

【推论】
对于齐次方程组，若方程个数=未知量个数，D!=0，则齐次方程组只有零解。(x1=x2=...=xn=0x_1=x_2=...=x_n=0)
反过来说也成立：对于齐次方程组，若方程个数=未知量个数，齐次方程组有非零解，则D=0

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

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Contributors: dongyz8