行列式（determinant）

1.二阶行列式

将a,b,c,d四个数，写成这种式子： $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |$

就称为一个二阶行列式（second-order determinant）。二阶指的是有两行、两列。

一般也会用带有下标的变量表示：： $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} |$
下标第一个数称为行标；表示这个数在第几行。
下标第二个数称为列标；表示这个数在第几列。
比如， $a_{21}$ 表示在第2行第1列。

二阶行列式的按对角线展开

所谓二阶行列式展开，就是将行列式展开成多项式： $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a \times d - b \times c$

我们可以用“对角线法”去求二阶行列式展开后的多项式（polynomial）。

就是用左上角与右下角相乘，再减去左下角与右上角相乘的值，就可以求得二阶行列式的展开式。

展开之后，得到的多项式便为： $a \times d - b \times c$ 。

可以理解为：二阶行列式就是这个多项式 $a \times d - b \times c$ 的简易写法（虽然看上去没简易多少，但继续往下看三阶行列式，就会发现确实简易了。）

2.三阶行列式

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |$ 有3行3列，被称为一个三阶行列式（Tertiary determinant）。

三阶行列式的按对角线展开

同样可以用“对角线法”，求三阶行列式展开后的多项式。

先将上面的行列式，想象成这样： $| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 & 7 & 8 & 9 \end{matrix} |$

先是从左到右：

左上角到右下角： $1 \times 5 \times 9$
然后下一列： $2 \times 6 \times 7$
再下一列： $3 \times 4 \times 8$

得到3个项，将它们相加：
$1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8$
然后从右到左：
右上角到左下角： $3 \times 5 \times 7$
然后上一列： $2 \times 4 \times 9$
再上一行： $1 \times 6 \times 8$

得到3个项，将它们相加：
$3 \times 5 \times 7 + 2 \times 4 \times 9 + 1 \times 6 \times 8$
最后，将(1)和(2)相减，就得到三阶行列式的展开式：

$| \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | = 1 \times 5 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 4 \times 8 - (3 \times 5 \times 7 + 2 \times 4 \times 9 + 1 \times 6 \times 8)$

3.排列

在介绍多阶行列式之前，我们需要先了解一下排列(arrange)的概念。

由1,2...n 这n个数组成的一个有序数组，叫n级排列。1,2...n中，每个数都要出现，才算n级排列。（比如[1345]就不是1,2,3,4,5的一个n级排列）

逆序（reverse order）：大数在小数前面，就叫逆序。
比如1,2,3,4有一个n级排列：[4132]，4在1前面，就是逆序。

逆序数（Reverse order number）：排列中存在多少次逆序，就称为一个排列的逆序数。用N(1,2,...n)表示
还是[4132]，4在第1，它比1、3、2都大，所以产生了3次逆序；然后还有3比2大，产生了1次逆序。所以最后算得，[4132]这个排列的逆序数为3+1=4

偶排列（even permutation）：逆序数为偶数的排列

奇排列（odd permutation）：逆序数为奇数的排列

标准排列：逆序数为0的排列。如N(1,2,...n)

对换：排列中的两个数交换位置，就叫对换

对换后，排列的奇偶性会发生改变。

4.n阶行列式

有n行、n列的行列式，就叫n阶行列式。

n阶行列式的展开

如果再用对角线法，也可以，但是麻烦；因此我们从3阶行列式找找规律：

$| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} \times a_{22} \times a_{33} + a_{12} \times a_{23} \times a_{31} + a_{13} \times a_{21} \times a_{32} - (a_{13} \times a_{22} \times a_{31} + a_{12} \times a_{21} \times a_{33} + a_{11} \times a_{23} \times a_{32})$

展开后，一共有6个项。
$a_{11} \times a_{22} \times a_{33}$
$a_{12} \times a_{23} \times a_{31}$
$a_{13} \times a_{21} \times a_{32}$
$a_{13} \times a_{22} \times a_{31}$
$a_{12} \times a_{21} \times a_{33}$
$a_{11} \times a_{23} \times a_{32}$

可以看到：
行标的排列都是标准排列（123）；列标的排列取排列的所有可能。

再看列标的排列：
123 偶排列
231 偶排列
312 偶排列
321 奇排列
213 奇排列
132 奇排列
我们发现，正项（符号为+）的列标的排列都是偶排列；负项（符号为-）的列标的排列都是奇排列。

拓展到n阶行列式，我们便可以根据以上规律，求得n阶行列式的按行展开定义：
行标取标准排列；
列标取排列的所有可能。
不同行不同列取出来的元素相乘，符号由列标排列的奇偶性决定；（列标的排列为偶排列的为正项；列标的排列为奇排列的为负项）

相应的，也会有n阶行列式的按列展开定义，两种定义求出来的多项式，均是对的：
列标取标准排列；
行标取排列的所有可能。
不同行不同列取出来的元素相乘，符号由行标排列的奇偶性决定；（行标的排列为偶排列的为正项；行标的排列为奇排列的为负项）

一般用大写字母D来表示行列式的值（determinant的首字母）；

我们也可以总结得出：n阶行列式展开后多项式有n!项。

5.行列式的性质

性质1（性质2的推论）：两行（列）相等，行列式的值D = 0。

性质2：两行（列）对应成比例，行列式的值D = 0。

性质2的推论：当有一行全为0，行列式的值D = 0。

性质3：某个行列式，有一行为两个值相加，则值可以拆成两个行列式相加的形式。
例子： $D = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 + 5 & 5 + 8 & 6 + 2 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | + | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 5 & 8 & 2 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |$

6.行列式的初等变换

转置

行列式转置，值不变。 $D = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |$ -> $D^{T} = | \begin{matrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{matrix} |$

两行互换

行列式两行互换，值的符号改变。

数乘

某一行都乘以K，等于行列式乘以K。
$D = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 k & 5 k & 6 k \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} | = k | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} |$

某一行乘以一个数，加到另一行上

值不变。

7.行列式的按行展开

【余子式】

假设有以下行列式： $D = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 10 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$

那么它第3行第2列的元素对应的余子式为： $M_{32} = | \begin{matrix} 1 & 3 & 10 \\ 4 & 6 & 11 \\ 13 & 15 & 16 \end{matrix} |$

即把行列式D的第3行以及第2列上的元素去掉，得到的新的行列式就为新的余子式，用 $M_{32}$ 表示（3，指第3行；2指第2列）。

【代数余子式】

接上，第3行第2列的元素对应的代数余子式为： $A_{32} = (- 1)^{(3 + 2)} | \begin{matrix} 1 & 3 & 10 \\ 4 & 6 & 11 \\ 13 & 15 & 16 \end{matrix} |$
代数余子式用** $A_{i j}$ 表示**。

【行列式的第二种定义】

$D = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} + . . . + a_{i n} A_{i n}$

其中， $a_{i 1}$ 是指在行列式第i行、第1列的元素， $A_{i 1}$ 是指第i行、第1列的元素的代数余子式。

简单来说，就是指行列式的值，等于行列式任意一行的所有元素以及其代数余子式的积的总和。

这种换算，也叫行列式的按行展开。

在按行展开时，选择0比较多的行去展开，计算会比较方便。

【异乘变零定理】

某行元素与另一行元素的代数余子式的乘积之和必定为0。

如何证明？

证明：

假设有 $D = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 10 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$

第四行元素与第一行的代数余子式异乘：
$D^{'} = 13 \times (- 1)^{1 + 1} \times | \begin{matrix} 5 & 6 & 11 \\ 8 & 9 & 12 \\ 14 & 15 & 16 \end{matrix} | + 14 \times (- 1)^{1 + 2} \times | \begin{matrix} 4 & 6 & 11 \\ 7 & 9 & 12 \\ 13 & 15 & 16 \end{matrix} | + 15 \times (- 1)^{1 + 3} \times | \begin{matrix} 4 & 5 & 11 \\ 7 & 8 & 12 \\ 13 & 14 & 16 \end{matrix} | + 16 \times (- 1)^{1 + 4} \times | \begin{matrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 13 & 14 & 15 \end{matrix} |$

我们再将D第一行的元素变为第四行，得到一个新的行列式B：
$B = | \begin{matrix} 13 & 14 & 15 & 16 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$

对B按第一行展开，我们可以发现，展开式与D'相同：
$B = 13 \times (- 1)^{1 + 1} \times | \begin{matrix} 5 & 6 & 11 \\ 8 & 9 & 12 \\ 14 & 15 & 16 \end{matrix} | + 14 \times (- 1)^{1 + 2} \times | \begin{matrix} 4 & 6 & 11 \\ 7 & 9 & 12 \\ 13 & 15 & 16 \end{matrix} | + 15 \times (- 1)^{1 + 3} \times | \begin{matrix} 4 & 5 & 11 \\ 7 & 8 & 12 \\ 13 & 14 & 16 \end{matrix} | + 16 \times (- 1)^{1 + 4} \times | \begin{matrix} 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\ 13 & 14 & 15 \end{matrix} |$

根据性质3，B = 0 ，因此有D' = B = 0。

【拉普拉斯定理】

2阶子式：往任意相邻2行、任意相邻2列画1直线，直线交叉的元素形成的一个行列式，就是2阶子式；（k阶同理）

2阶余子式：往任意相邻2行、任意相邻2列画1直线，没有直线经过的元素形成的一个行列式，就是2阶余子式；（k阶同理）

2阶代数余子式： $(- 1)^{第一行号 + 第二行号 + 第一列号 + 第二列号}$ x 2阶余子式

拉普拉斯定理：取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与k阶代数余子式的乘积之和 = D 。

8.行列式的计算

求行列式的值，有以下比较好的计算思路：

(1)简化成上三角行列式

根据性质2、性质4、性质7，将行列式简化成“上三角行列式”（即对角线以下的元素均为0，不包括对角线上的元素）
行列式的值便等于对角线元素的乘积。

【示例1】

$D = | \begin{matrix} 6 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$

要将D变为上三角行列式，我们要做的就是将a21,a31,a32,a41,a42,a43这几个值变为0。

我们可以先将a11变为1，方便计算。方法是将第一行的元素同时乘以 $\frac{1}{6}$ ，得：
$D = 6 \times \frac{1}{6} \times | \begin{matrix} 6 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} | = 6 \times | \begin{matrix} \frac{1}{6} \times 6 & \frac{1}{6} \times 12 & \frac{1}{6} \times 18 & \frac{1}{6} \times 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} | = 6 \times | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$
开始计算。

a21:将第一行的值乘以-4，加到第二行，根据性质7，D的值不变，同时可以将a21变为0；
$D = 6 \times | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 + (- 4) & 5 + (- 8) & 6 + (- 12) & 11 + (- 16) \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} | = | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 6 & - 5 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$

a31:将第一行的值乘以-7，加到第三行：
$D = 6 \times | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 6 & - 5 \\ 0 & - 6 & - 13 & - 16 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$

a32:将第二行的值乘以-2，加到第三行：
$D = 6 \times | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 6 & - 5 \\ 0 & 0 & - 1 & - 6 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$

a41:将第一行的值乘以-13，加到第四行： $D = 6 \times | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 6 & - 5 \\ 0 & 0 & - 1 & - 6 \\ 0 & - 12 & - 24 & - 32 \end{matrix} |$

a42:将第二行的值乘以-4，加到第四行： $D = 6 \times | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 6 & - 5 \\ 0 & 0 & - 1 & - 6 \\ 0 & 0 & 0 & - 12 \end{matrix} |$

a43:刚好为0，不用计算。（若不为0，则用第3行的值乘以一个数，加到第四行，时a43为0）
$D = 6 \times | \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & - 3 & - 6 & - 5 \\ 0 & 0 & - 1 & - 6 \\ 0 & 0 & 0 & - 12 \end{matrix} |$

将对角线元素相乘，最终得： $D = 6 \times 1 \times - 3 \times - 1 \times - 12 = - 216$

【示例2】
如下行列式，假设a11为0，就无法用上面这种方法，该怎么办？
$D = | \begin{matrix} 0 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 7 & 8 & 9 & 12 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$

我们可以根据性质2：两行互换，行列式符号改变，将ai1不为0的行换到第一行，再用上面示例1的方法求值即可。

(2)某一行的0特别多时：

直接对该行某个不为0的元素按行展开，然后计算。

【示例3】

$D = | \begin{matrix} 6 & 12 & 18 & 24 \\ 4 & 5 & 6 & 11 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 13 & 14 & 15 & 16 \end{matrix} |$
我们可以看到，以下行列式，第3行有很多0，因此，我们可以对a32按行展开：
$D = 0 \times A 31 + 8 \times A 32 + 0 \times A 33 + 0 \times A 34 = 8 \times A 32$
然后对A32（a32的代数余子式）求值即可。

(3)加边法

略

(4)范德蒙行列式(Vandermonde determinant)

范德蒙行列式： $| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 & . . . & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} & . . . & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & x_{4}^{2} & . . . & x_{n}^{2} \\ . . . \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & x_{3}^{n - 1} & x_{4}^{n - 1} & . . . & x_{n}^{n - 1} \end{matrix} |$

若行列式满足范德蒙行列式，则它的值 $D = \prod 1 <= j < i <= n (x_{i} - x_{j})$

假设有 $| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & x_{4}^{2} \\ x_{1}^{3} & x_{2}^{3} & x_{3}^{3} & x_{4}^{3} \end{matrix} |$

则它的值 $D = (x_{2} - x_{1}) \times (x_{3} - x_{1}) \times (x_{4} - x_{1}) \times (x_{3} - x_{2}) \times (x_{4} - x_{2}) \times (x_{4} - x_{3})$

(5)对称行列式、反对称行列式

$D = | \begin{matrix} 4 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 & 6 \\ 2 & 5 & 2 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 1 \end{matrix} |$
上面是一个对称行列式，它有以下特点：

主对角线上的值可以为任意值
上下元素对应相等，即aij = aji

$D = | \begin{matrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ - 1 & 0 & 5 & 6 \\ - 2 & - 5 & 0 & - 8 \\ - 3 & - 6 & 8 & 0 \end{matrix} |$
上面是一个反对称行列式，它有以下特点：

主对角线上的值都为0
上下元素对应成相反数，即aij = -aji

性质：奇数阶的反对称行列式，D = 0

9.克莱姆法则(cramer)

克莱姆法则，是用行列式（或矩阵）的方式，去解n元的方程组。

【定义】
对于一个n元n个方程组，若它的系数行列式不为0，则方程组的解则 $x_{i} = \frac{D_{i}}{D}$

【解释】
假设有以下三元方程组：
${\begin{cases} x_{1} + x_{2} + x_{3} = 1 \\ x_{1} - x_{2} + 5 x_{3} = 6 \\ - x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} = 9 \end{cases}$

我们将方程组的系数，做成一个系数行列式：
$D = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 6 \end{matrix} |$

此时，可以使用克莱姆法则对 $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ 求解。
$x_{1} = \frac{D_{1}}{D}$
$x_{2} = \frac{D_{2}}{D}$
$x_{3} = \frac{D_{3}}{D}$

其中 $D_{1}$ 的意思是将方程组等号右边的值(1,6,9)，替换行列式D第1列后，形成的新的行列式：
$D_{1} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 6 & - 1 & 5 \\ 9 & 1 & 6 \end{matrix} |$
同理 $D_{2}$ 是替换行列式D第2列后，形成的新的行列式：
$D_{2} = | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 6 & 5 \\ - 1 & 9 & 6 \end{matrix} |$

但克莱姆法则有使用条件：

必须是n个方程，n个变量
D!=0

克莱姆法则计算量比较大，因此一般不使用。

【推论】 对于齐次方程组，若方程个数=未知量个数，D!=0，则齐次方程组只有零解。( $x_{1} = x_{2} = . . . = x_{n} = 0$ )
反过来说也成立：对于齐次方程组，若方程个数=未知量个数，齐次方程组有非零解，则D=0