线性方程组

1.概述

经典问题：鸡兔同笼

什么是线性方程组

$\begin{cases} x+y = 8 \\ 2x+4y = 30 \end{cases}$

用矩阵表示线性方程组

【系数矩阵】
只用方程组的系数构成的矩阵，就叫系数矩阵：
$A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & 4\end{pmatrix}$

【增广系数矩阵】
用方程组的系数以及等号右边的值构成的矩阵，就叫增广系数矩阵，一般用$\bar{A}$表示：
$\bar{A} = \left( \begin{array}{cc:c} 1 & 1 & 8\\ 2 & 4 & 30\end{array}\right)$

用向量表示线性方程组

$x \begin{pmatrix} 1 \\ 2\end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} 1 \\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 30\end{pmatrix}$

非齐次线性方程组

非齐次方程组，即等号右边不都为0的方程组：$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\x_1 - x_2 + 5x_3 = 2 \\-x_1 + x_2 + 6x_3 = 0 \\\end{cases}$

一般用$Ax=b$表示，其中A是系数矩阵 （示例：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\1 & -1 & 5\\-1 & 1 & 6\\\end{pmatrix}$ ），x是未知数向量 （示例：$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\\end{pmatrix}$），b是常量组成的向量（示例：$\begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \\\end{pmatrix}$）。

齐次线性方程组

齐次方程组，即等号右边都为0的方程组：$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 0 \\x_1 - x_2 + 5x_3 = 0 \\-x_1 + x_2 + 6x_3 = 0 \\\end{cases}$

一般用$Ax=0$表示，其中A是系数矩阵 （示例：$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\1 & -1 & 5\\-1 & 1 & 6\\\end{pmatrix}$ ），x是未知数向量 （示例：$\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\\end{pmatrix}$）。

2.线性方程组的有解判定

【步骤】

1. 将线性方程组转换为增广系数矩阵

2. 只通过初等行变换，将矩阵转换为阶梯型矩阵

3. 求出系数矩阵的秩$r(A)$、和增广系数矩阵的秩$r(\bar{A})$

4. 此时会遇到3种情况：

情况	说明	示例矩阵	对应的解
有唯一解	$r(A)$ = $r(\bar{A})$ = 未知数个数	$\left( \begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 0 & 1\\0 & 1 & 0 & 2\\0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right)$	$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 \\ z = 3 \\ \end{cases}$
有无穷多解	$r(A)$ = $r(\bar{A})$ < 未知数个数	$\left(\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 1 & 5\\0 & 1 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$	$\begin{cases} x+z = 5 \\ y+z = 9 \\ \end{cases}$
无解	$r(A)$ != $r(\bar{A})$	$\left(\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 1 & 3\\0 & 1 & 0 & 4\\0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$	$\begin{cases} x+z = 3 \\ y = 4 \\ 0 = 1 \\ \end{cases}$

5. 发现有解，继续只通过初等行变换，将矩阵转换为简化阶梯型矩阵 $\left(\begin{array}{ccc:c} 1 & 0 & 1 & 5\\0 & 1 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

6. 转换成方程组的形式，即为最后的解。$\begin{cases} x+z = 5 \\ y+z = 9 \\ \end{cases}$

7. 一般解的格式：$\begin{cases} x = 5 - z \\ y = 9 - z \\ \end{cases}$，其中，z为自由未知量（即z可取任意值，x、y根据z来变化）

对于齐次线性方程组，注意：

1. 齐次线性方程组一定有解。因为它的$r(A)$ = $r(\bar{A})$ 恒成立。
2. 齐次线性方程组，未知数个数 = 系数矩阵的秩（r(A)），有唯一的零解。
3. 齐次线性方程组，未知数个数 > 系数矩阵的秩（r(A)），有非零解。
4. 方程的个数 < 未知数个数，则方程组必有非零解。
5. 方程的个数 = 未知数个数，方程组有非零解的充分必要条件：|A| = 0，即矩阵对应行列式的值为0
6. 方程的个数 = 未知数个数，方程组只有零解的充分必要条件：|A| != 0，即矩阵对应行列式的值不为0

性质

性质1： 对于齐次线性方程组A，若向量a和向量b是A的解，那么a+b也是A的解
性质2： 对于齐次线性方程组A，若向量a是A的解，那么c*a也是A的解（c是非0常量）

3. 基础解系

【定义】

基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。

【求线性方程组基础解系的一般步骤】

1. 按线性方程组的有解判定中的步骤，求出一般解，并将一般解写成向量线性组合的形式。
   $\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 2 & -4\\0 & 1 & 4 & -5 & 6\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}$ ----> $\begin{cases} x_1 = 3x_3 - 2x_4 + 4x_5 \\ x_2 = -4x_3 + 5x_4 - 6x_5 \end{cases}$ -----> $\begin{pmatrix} 3x_3 - 2x_4 + 4x_5 \\ -4x_3 + 5x_4 - 6x_5 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{pmatrix}$
   其中，不在左边的未知量，均为自由未知量（即可以为任意值）。
   注意系数为0的也是自由未知量。

2. 将所有自由未知量看成一个向量v。
   $\begin{pmatrix} x_3 \\ x_4 \\ x_5\end{pmatrix}$

3. 令v分别取$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$、$\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$，代入到一般解中，得：
   $v1=\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix}$、$v2=\begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}$、$v3=\begin{pmatrix} 4 \\ - 6 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}$

4. 则v1,v2,v3就是方程组的基础解系。任意解都可以用c1v1+c2v2+c3v3来表示（c1,c2,c3为任意常量）。

实际上，v只要取3个线性无关的向量代入进去，求出来的v1,v2,v3也是方程组的基础解系，只不过上面的取法方便计算。