线性方程组

1.概述

经典问题：鸡兔同笼

什么是线性方程组

$\{\begin{array}{l}x+y=8\\ 2x+4y=30\end{array}$

用矩阵表示线性方程组

【系数矩阵】
只用方程组的系数构成的矩阵，就叫系数矩阵：
$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$

【增广系数矩阵】
用方程组的系数以及等号右边的值构成的矩阵，就叫增广系数矩阵，一般用$\overline{A}$表示：
$\overline{A}=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 8\\ 2& 4& 30\end{array}\right)$

用向量表示线性方程组

$x\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 30\end{array}\right)$

非齐次线性方程组

非齐次方程组，即等号右边不都为0的方程组：$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=1\\ x_1-x_2+5x_3=2\\ -x_1+x_2+6x_3=0\end{array}$

一般用$Ax=b$表示，其中A是系数矩阵 （示例：$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 5\\ -1& 1& 6\end{array}\right)$ ），x是未知数向量 （示例：$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$），b是常量组成的向量（示例：$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 0\end{array}\right)$）。

齐次线性方程组

齐次方程组，即等号右边都为0的方程组：$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0\\ x_1-x_2+5x_3=0\\ -x_1+x_2+6x_3=0\end{array}$

一般用$Ax=0$表示，其中A是系数矩阵 （示例：$\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 5\\ -1& 1& 6\end{array}\right)$ ），x是未知数向量 （示例：$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$）。

2.线性方程组的有解判定

【步骤】

1. 将线性方程组转换为增广系数矩阵

2. 只通过初等行变换，将矩阵转换为阶梯型矩阵

3. 求出系数矩阵的秩$r(A)$、和增广系数矩阵的秩$r(\overline{A})$

4. 此时会遇到3种情况：

5. 发现有解，继续只通过初等行变换，将矩阵转换为简化阶梯型矩阵 $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 5\\ 0& 1& 1& 9\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

6. 转换成方程组的形式，即为最后的解。$\{\begin{array}{l}x+z=5\\ y+z=9\end{array}$

7. 一般解的格式：$\{\begin{array}{l}x=5-z\\ y=9-z\end{array}$，其中，z为自由未知量（即z可取任意值，x、y根据z来变化）

对于齐次线性方程组，注意：

1. 齐次线性方程组一定有解。因为它的$r(A)$ = $r(\overline{A})$ 恒成立。
2. 齐次线性方程组，未知数个数 = 系数矩阵的秩（r(A)），有唯一的零解。
3. 齐次线性方程组，未知数个数 > 系数矩阵的秩（r(A)），有非零解。
4. 方程的个数 < 未知数个数，则方程组必有非零解。
5. 方程的个数 = 未知数个数，方程组有非零解的充分必要条件：|A| = 0，即矩阵对应行列式的值为0
6. 方程的个数 = 未知数个数，方程组只有零解的充分必要条件：|A| != 0，即矩阵对应行列式的值不为0

性质

性质1： 对于齐次线性方程组A，若向量a和向量b是A的解，那么a+b也是A的解
性质2： 对于齐次线性方程组A，若向量a是A的解，那么c*a也是A的解（c是非0常量）

3. 基础解系

【定义】

基础解系是指方程组的解集的极大线性无关组，即若干个无关的解构成的能够表示任意解的组合。

【求线性方程组基础解系的一般步骤】

1. 按线性方程组的有解判定中的步骤，求出一般解，并将一般解写成向量线性组合的形式。
   $\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -3& 2& -4\\ 0& 1& 4& -5& 6\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$ ----> $\{\begin{array}{l}{x}_1=3x_3-2x_4+4x_5\\ x_2=-4x_3+5x_4-6x_5\end{array}$ -----> $\left(\begin{array}{c}3x_3-2x_4+4x_5\\ -4x_3+5x_4-6x_5\\ x_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)$
   其中，不在左边的未知量，均为自由未知量（即可以为任意值）。
   注意系数为0的也是自由未知量。

2. 将所有自由未知量看成一个向量v。
   $\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ x_4\\ x_5\end{array}\right)$

3. 令v分别取$\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$、$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$，代入到一般解中，得：
   $v1=\left(\begin{array}{c}3\\ -4\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$、$v2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$、$v3=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

4. 则v1,v2,v3就是方程组的基础解系。任意解都可以用c1v1+c2v2+c3v3来表示（c1,c2,c3为任意常量）。

实际上，v只要取3个线性无关的向量代入进去，求出来的v1,v2,v3也是方程组的基础解系，只不过上面的取法方便计算。