向量(vector)

1.向量

向量可以理解为空间中的一条线段。
当你加上一个坐标轴，将线段的一端摆到坐标轴的原点，那么便可以通过一个坐标(x,y,z)去表示这个向量。

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向量的表示方式

但是向量一般用以下方式表示：

∣xyz∣\begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix}

或者用：[xyz]T[x \quad y \quad z]^T，意思是将[x,y,z]行转列。

向量的运算

【向量的相加】

∣123∣+∣111∣=∣1+12+13+1∣=∣234∣\begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1+1 \\ 2+1 \\ 3+1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{vmatrix}

用图形表示则如下：

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向量的相加，等于向量对应的两条线段首尾相连，形成的一个新的向量。

 
 
 
 
 
【向量的数乘】

∣123∣×2=∣1×22×23×2∣=∣246∣\begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix} \times 2 = \begin{vmatrix} 1 \times 2 \\ 2 \times 2 \\ 3 \times 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{vmatrix}

向量的数乘，等于向量在原有向量方向上伸长或缩短，方向不变。

向量的相加、数乘也被称为向量的线性运算。

 
 
 
 
 
【向量的点乘(dot product)】

又名点积、数量积。点积的定义又分为代数定义和几何定义。

对于向量a = (x1,y1),b =(x2,y2)：
 
 
代数定义：
a⃗⋅b⃗=x1x2+y1y2\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2

 
 
几何定义：
a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣∣cos⁡θ∣\vec{a} \cdot \vec{b} = \lvert\vec{a}\rvert \lvert\vec{b}\rvert \lvert\cos{\theta}\rvert
可以理解为：向量a的长度 乘以 向量b投影到向量a上的长度
 
 

点积满足交换律、分配律以及结合律。

  • 交换律：a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}
  • 分配律：a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{a}
  • 结合律：(ma⃗)⋅b⃗=a⃗⋅(mb⃗)(m\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (m\vec{b})

2.向量的基(basis)

当去掉坐标轴后，是不是就无法表示向量呢？这里又引入向量的“基”(basis)这个概念。

在去掉坐标轴之前，我们以x轴、y轴、z轴为向量方向，以1为向量长度，生成3个向量：

e1=∣100∣e1 = \begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} ，e2=∣010∣e2 = \begin{vmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix} ，e3=∣001∣e3 = \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{vmatrix}

这3个向量又叫单位方向向量。

此时，v1=[1,2,3]Tv1 = [1,2,3]^T这个向量就可以用这3个向量表示：

1×∣100∣+2×∣010∣+3×∣001∣=∣123∣1 \times \begin{vmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{vmatrix} + 3 \times \begin{vmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix}

e1,e2,e3就可以称为v1的一组基(basis)。它们代替坐标轴作为v1的参照物。

向量可以有很多组基，在不同的基下，向量的数字定义也不一样。

例如以e1,e2,e3作为基，v1的数字定义为v1=[1,2,3]Tv1 = [1,2,3]^T；

但如果e1换成v1=[−1,0,0]Tv1 = [-1,0,0]^T，那么v1的数字定义就会变为v1=[−1,2,3]Tv1= [-1,2,3]^T。

3.向量的张成(span)

（1）对向量c1：∣123∣\begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix} 作任意数乘，可以得到新的向量；这些向量组成的集合，称为c1的张成(span)；

用几何定义来表示，可以看见，这个张成实质就是c1所在的一条直线：

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（2）对两个向量c1：∣123∣\begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix} d1：∣111∣\begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} ，作任意相加和数乘运算，可以得到新的向量；这些向量组成的集合，称为c1,d1的张成(span)；

用几何定义来表示，可以看见，这个张成实质就是一个平面：

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（3）对第2节中的单位方向向量e1,e2,e3作任意相加和数乘运算，我们可以想象得到，它们的张成就是整个空间；

向量空间

略

4.向量的线性相关&线性无关

假设有以下3组向量：

e1=∣123∣e1 = \begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix} ，e2=∣111∣e2 = \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} ，e3=∣357∣e3 = \begin{vmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{vmatrix}

你会发现，这3组向量形成的张成是一个平面，而不是整个空间。
 
 
 
 

为什么会产生这种情况？原因是：

2×∣123∣+∣111∣=∣357∣2 \times \begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{vmatrix}

即 [3,5,7]T[3,5,7]^T这个向量可以用[1,2,3]T[1,2,3]^T以及[1,1,1]T[1,1,1]^T 通过线性运算（向量的相加以及数乘）计算出来，则[3,5,7]T[3,5,7]^T这个向量是多余的，用2个向量与3个向量的效果是一样的。
此时，我们称这3个向量线性相关。

 
 
 
 
 
反之，[1,2,3]T[1,2,3]^T以及[1,1,1]T[1,1,1]^T这两个向量不能通过相加以及数乘去表示对方，我们则称这两个向量线性无关。

 
 
 
 
 
换一种说法：
线性相关的向量，满足 2×∣123∣+∣111∣−∣357∣=02 \times \begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} - \begin{vmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \end{vmatrix} = 0
而线性无关的向量，只有 0×∣123∣+0×∣111∣=00 \times \begin{vmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{vmatrix} + 0 \times \begin{vmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{vmatrix} = 0

 
 
 
 
 
因此，我们可以得出线性相关的数学定义：
对于向量空间VV 中的一组向量v1,v2...vmv_1,v_2...v_m ，如果使得a1v1+a2v2+...amvm=0a_1v_1 + a_2v_2 + ... a_mv_m = 0 的系数a1,a2...ama_1,a_2...a_m 只有a1=a2=...=am=0a_1=a_2=...=a_m=0 时才成立，则称(v1,v2...vm)(v_1,v_2...v_m)这组向量是线性无关的。

4.1 线性相关的定理

定理1 a1,a2,...,an 线性相关的 充分必要条件 为：至少一个向量可由其他向量线性表示。

定理2 a1,a2,...,an 线性无关，但a1,a2,...,an,b线性相关，则b可由a1,a2,...,an唯一表示。

定理3 【替换定理】a1,a2,...,an 线性无关，可由b1,b2,...,bm表示，则m>=n

定理4 n+1个n维向量必线性相关

定理5 等价的线性无关的向量组向量个数相同

5.单位正交基

我们知道什么是线性相关了，此时我们可以重新定义一下基(basis)：

若向量空间VV 中有一个向量组既线性无关又张成VV ，则称之为VV 的一组基。

通常我们研究的基都是单位长度且正交的。

  • 单位长度：指的是每个基向量的矢量长度为1。
  • 正交：这组基中任意两个向量点乘为零。

当然，基也可以不是单位长度，不是正交的，只是单位正交基比较方便我们研究向量。

6.基变换

在第2节中，我们看到向量在不同的基下的数学定义是不一样的。

就好像我们跑步时，用不同事物作为参照物，我们跑步的快慢看起来也不一样。

在单位正交基[1,0]T[1,0]^T,[0,1]T[0,1]^T下，有一个向量a1的数学定义为 [8,3]T[8,3]^T；

当它在另一组单位正交基[12,−12]T[\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}]^T，[12,12]T[\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]^T下，它的数学定义又是多少呢？如何转换？

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很简单，从图中我们可以看出：

  1. 用a1 与 [12,−12]T[\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}]^T做点乘，可以得到a1在x'轴上的值；
    [8,3]T⋅[12,−12]T=8×12+3×−12=52[8,3]^T \cdot [\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}]^T = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \times -\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}

  2. 用a1 与 [12,12]T[\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]^T 做点乘，可以得到a1在y'轴上的值；
    [8,3]T⋅[12,12]T=8×12+3×12=112[8,3]^T \cdot [\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}]^T = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} + 3 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}}

  3. 结合1和2，得到向量a1在新基上的数学定义:[52,112]T[\frac{5}{\sqrt{2}},\frac{11}{\sqrt{2}}]^T

这种转换就叫基变换。

基变换的矩阵表示

略

7.向量组的秩

极大无关组

有以下向量组：a1=[1,0]Ta1=[1,0]^T、a2=[2,0]Ta2=[2,0]^T、a3=[0,5]Ta3=[0,5]^T、a4=[0,10]Ta4=[0,10]^T

我们可以看到，a2可由a1表示（线性相关），a4可由a3表示。
因此，a2、a4其实是信息冗余的。
此时，我们称a1、a3为这个向量组的极大无关组。

性质：

  1. 极大无关组中的向量线性无关；
  2. 向量组中每个向量均可由极大无关组中的向量组合表示；

向量组的等价

定义：

  1. 两个向量组维度相同
  2. A中的向量可由B中向量通过线性计算得到，则称A、B向量组是等价的。
  3. 两个等价的线性无关的向量组所含向量的个数相同。
  4. 等价的向量组的秩相同，但是秩相同的向量组不一定等价。

性质：

  1. 反身性（自己与自己等价）： A≅AA \cong A
  2. 对称性（可以反过来写）： 若A≅BA \cong B，则有B≅AB \cong A
  3. 传递性：若A≅BA \cong B，B≅CB \cong C，则有A≅CA \cong C

向量组的秩定义

极大无关组含向量的个数，就是该向量组的秩。记作r(a1,a2...,an)

注意：

  1. 0 <= r(a1,a2,...,an) <= min{向量的个数，向量的维数}
  2. a1,a2,...,an线性无关 等价于 r(a1,a2,...,an) = 向量的个数
  3. a1,a2,...,an线性相关 等价于 r(a1,a2,...,an) < 向量的个数

矩阵的行秩、列秩

【行秩】
我们将一个矩阵的每一行都看成一个向量，则我们可以得到一个行向量组。
这个行向量组的秩，就称作这个矩阵的行秩。

【列秩】
我们将一个矩阵的每一列都看成一个向量，则我们可以得到一个列向量组。
这个列向量组的秩，就称作这个矩阵的列秩。

定理1：矩阵的行秩 = 矩阵的列秩 = 矩阵的秩
定理2：r(AB) <= min{r(A),r(B)}
定理3：初等行变换不改变矩阵列向量组的线性关系

什么是向量组的线性关系？

求向量组的秩

步骤：

  1. 将向量组按列构成一个矩阵
  2. 只通过初等行变换，化成行简化阶梯型矩阵
  3. 首非零元所在列，作为极大线性无关组
  4. 剩下的列的表示系数即为简化阶梯型矩阵上对应的系数

例题：

求以下向量组的极大线性无关组，并用极大线性无关组表示向量组中的其他向量。

a1=[1,−2,2,−1]Ta_1=[1,-2,2,-1]^T
a2=[2,−4,8,0]Ta_2=[2,-4,8,0]^T
a3=[−2,4,−2,3]Ta_3=[-2,4,-2,3]^T
a4=[3,−6,0,−6]Ta_4=[3,-6,0,-6]^T

解答：

  1. 按列排成矩阵

(12−23−2−44628−20−1036)\begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 & 3\\ -2 & -4 & 4 & 6\\ 2 & 8 & -2 & 0\\ -1 & 0 & 3 & 6\end{pmatrix}

  1. 通过初等行变换，将矩阵转换成简化阶梯型矩阵

(10−360112−3200000000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 & 6\\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{3}{2}\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

  1. 首非零元所在列，作为极大线性无关组

b1=[1,0,0,0]Tb_1=[1,0,0,0]^T
b2=[0,1,0,0]Tb_2=[0,1,0,0]^T

即b1b_1,b2b_2为向量组的极大线性无关组

  1. 剩下的列的表示系数即为简化阶梯型矩阵上对应的系数

剩下的两列：

b3=[−3,12,0,0]Tb_3=[-3,\frac{1}{2},0,0]^T
b4=[6,−32,0,0]Tb_4=[6,-\frac{3}{2},0,0]^T

可以直接用极大无关组乘以对应系数表示。

b3=−3×b1+12×b2b_3=-3 \times b_1 + \frac{1}{2} \times b_2
b4=6×b1−32×b2b_4=6 \times b_1 - \frac{3}{2} \times b_2

最后，原向量组的线性关系，与初等行变换之后的向量组的线性关系是一样的。

a3=−3×a1+12×a2a_3=-3 \times a_1 + \frac{1}{2} \times a_2
a4=6×a1−32×a2a_4=6 \times a_1 - \frac{3}{2} \times a_2

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Contributors: dongyz8