矩阵(matrix)

1.什么是矩阵

1.1 矩阵的应用

解线性规划问题。
1. 某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如表所示。问:该厂应如何安排生产，使利润收入为最大?
2. 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的需求切割后售出。从钢管厂进货时得到原料钢管都是19m长。现有一客户需要50根4m长，20根6m长和15 根8m长的钢管，应如何下料最节省?
解线性方程(linear equation)。
见克莱姆法则
最小二乘拟合。

1.2 矩阵的定义

跟行列式类似，是由m行n列的元素组成。矩阵用 $A_{m n}$ 表示，第m行、第n列上的元素则同样用 $a_{m n}$ 表示。

1.3 矩阵与行列式的区别

	行列式	矩阵
本质	是一个多项式（行列式最后求值都能得到一个数）	是一些数组成的表
符号	用两根竖线表示： $\| \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 6 \end{matrix} \|$	用小括号或者中括号表示： $(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 5 \\ - 1 & 1 & 6 \end{matrix})$
形状	行数 = 列数	行数不一定等于列数
数乘	行列式乘以一个数，等于行列式某一行的元素都乘以这个数	矩阵乘以一个数，等于矩阵所有元素都乘以这个数

1.4 矩阵的类型

实矩阵，由一行元素组成： $(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \end{matrix})$
复矩阵，由一列元素组成： $(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$
零矩阵，元素全为0的矩阵： $(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$
n阶方阵，行数=列数的矩阵： $(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix})$
单位阵， $E_{n}$ 或 $I_{n}$ 表示，主对角线全为1、其余元素全为0的方阵： $E_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$
负矩阵，将矩阵A中的元素符号全换过来，则得到A的负矩阵-A
同型矩阵，形状相同的矩阵就是互为同型矩阵（如 $A_{23}$ 和 $B_{23}$ ）

$(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}) + (\begin{matrix} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{1} + B_{1} & A_{2} + B_{2} \\ A_{3} + B_{3} & A_{4} + B_{4} \end{matrix})$

【减法】

同一行同一列上的元素相加，得到新的矩阵。需要同型矩阵才能相减。

$(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}) - (\begin{matrix} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{1} - B_{1} & A_{2} - B_{2} \\ A_{3} - B_{3} & A_{4} - B_{4} \end{matrix})$

【数乘】

矩阵与一个数相乘，等于矩阵中所有元素跟这个数相乘得到的矩阵。

$k (\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k A_{1} & k A_{2} \\ k A_{3} & k A_{4} \end{matrix})$

【乘法】

两个矩阵能相乘有一个前提：A矩阵的行数=B矩阵的列数。

结果矩阵 = $A_{a b} \times B_{b c} = C_{a c}$

则求 $C_{a c}$ 的每一个元素 $c_{m n} = a_{m 1} \times b_{1 n} + a_{m 2} \times b_{2 n} . . . + a_{m b} \times b_{b n}$
即C矩阵第m行n列的元素的值，为A矩阵第m行的元素与B矩阵第n列的元素一一相乘并相加。

示例：
$A_{23} = (\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix})$
$B_{34} = (\begin{matrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} & b_{14} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & b_{24} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} & b_{34} \end{matrix})$

$C_{24} = (\begin{matrix} a_{11} \times b_{11} + a_{12} \times b_{21} + a_{13} \times b_{31} & a_{11} \times b_{12} + a_{12} \times b_{22} + a_{13} \times b_{32} & a_{11} \times b_{13} + a_{12} \times b_{23} + a_{13} \times b_{33} & a_{11} \times b_{14} + a_{12} \times b_{24} + a_{13} \times b_{34} \\ a_{21} \times b_{11} + a_{22} \times b_{21} + a_{23} \times b_{31} & a_{21} \times b_{12} + a_{22} \times b_{22} + a_{23} \times b_{32} & a_{21} \times b_{13} + a_{22} \times b_{23} + a_{23} \times b_{33} & a_{21} \times b_{14} + a_{22} \times b_{24} + a_{23} \times b_{34} \end{matrix})$

乘法满足分配律、结合律：

结合律：(AB)C = A(BC)
结合律2：(kA)B = A(kB) 分配律：(A+B)C = AC + BC

【幂】

$A^{k} = A \times A . . . \times A (K 个)$
$A^{0} = E$
$(A B)^{k} \neq A^{k} \times B^{k}$
$(A + B)^{2} \neq A^{2} + B^{2} + 2 A B$
$(A + E)^{2} = A^{2} + E^{2} + 2 A E$

【转置】

将矩阵A的元素下标列转成行，行转成列。用 $A^{T}$ 或者A'表示。

$A_{23} = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix})$
转置后，则为： $A^{T} = A^{'} = (\begin{matrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix})$

转置有以下性质： $(A^{T})^{T} = A$
$(A + B)^{T} = A^{T} + B^{T}$
$(k A)^{T} = k (A^{T})$
$(A B)^{T} = B^{T} \times A^{T}$

3.一些特殊的矩阵

【单位矩阵】

对角线上的元素全为1的矩阵，用E表示。

【数量矩阵】

对角线上的元素全为n的矩阵。

【标准型矩阵】

左上角到右下角，连续出现1，然后出现0的矩阵；

这种标准型矩阵又称为对角线标准型。

示例： $(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

除了对角线标准型，还有可逆标准型、Jordan标准型

【对角形矩阵】

对角线上的元素不为0，其他元素全为0。用diag(a1,a2...an)表示。

【上三角形矩阵】

只有主对角线（从左上到右下）的元素以及主对角线以上的元素不为0，其他元素全为0

【下三角形矩阵】

只有主对角线（从左上到右下）的元素以及主对角线以下的元素不为0，其他元素全为0

【对称矩阵】

当一个矩阵的所有元素，都满足 $a_{i j} = a_{j i}$ ，则该矩阵为对称矩阵。

对称矩阵的转置等于本身。

【反对称矩阵】

当一个矩阵的所有元素，都满足 $a_{i j} = - a_{j i}$ ，则该矩阵为反对称矩阵。

因为 $a_{i i} = - a_{i i}$ ，所以 $a_{i i} = 0$ ，即反对称矩阵主对角线上的元素均为0。

【行阶梯型矩阵】（重要）

当一个矩阵，从上到下，非零行的首非零元左边零的个数会逐行严格增加，则该矩阵为行阶梯型矩阵。

【首非零元】：每一行第一个不为0的元素，就是首非零元。
【严格增加】：下一行零的个数一定比上一行的多，相等也不行。

示例：

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

反例：

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \end{matrix})$

第2行、第3行首非零元右边0的个数均为2，不是严格增加，因此不是阶梯型。

【行简化阶梯型矩阵】（重要）

当一个矩阵是阶梯型矩阵，且：

非零行的首非零元为1；
首非零元所在列的其余元素都是0。

示例：
$(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

4.矩阵的属性

矩阵有以下一些属性：

特征值
特征向量
行列式

特征值与特征向量，待后面讲到向量时再展开。下面先了解矩阵的行列式。

4.1矩阵（方阵）的行列式

对于矩阵A，它的行列式用|A|表示。

4.2方阵行列式的初等变换

1： $| A^{T} | = | A |$

对应行列式的转置： $D^{T} = D$ 。即转置的行列式展开后与原来的行列式相等。

2： $| k A | = k^{n} | A |$

对应行列式的数乘：某一行都乘以K，等于行列式乘以K。

3： $| A \times B | = | A | \times | B |$

5.方阵的伴随矩阵(Adjoint matrix)

【如何求伴随矩阵】

假设有以下3阶方阵：

$A_{33} = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix})$

求出矩阵A上每个元素的代数余子式

$A_{11} = 1$ | $A_{12} = - 5$ | $A_{13} = - 1$
$A_{21} = - 3$ | $A_{22} = 3$ | $A_{23} = 0$
$A_{31} = 2$ | $A_{32} = - 1$ | $A_{33} = - 1$

将按行求出的代数余子式，按列放，构成矩阵A的伴随矩阵 ，用 $A^{*}$ 表示。

$A^{*} = (\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 \\ - 5 & 3 & - 1 \\ - 1 & 0 & - 1 \end{matrix})$

【伴随矩阵的性质】

$A \times A^{*} = A^{*} \times A = | A | E$
推论：若 |A| !=0,则 $| A^{*} | = | A |^{n - 1}$ ，其中n为矩阵A的阶数。
$A^{*} = | A | A^{- 1}$ ，其中 $A^{- 1}$ 为A的逆矩阵（后面介绍）。
$(A^{*})^{*} = | A |^{n - 2} A$

6.方阵的逆矩阵(Inverse matrix)

【定义】
对于n阶方阵A，若有n阶方阵B，满足 $A \times B = B \times A = E$ ，则B为A的逆矩阵，也可以记为 $A^{- 1}$ 。

【性质】

未必所有方阵都可逆
若可逆，则可逆矩阵唯一
$(A^{- 1})^{- 1} = A$
若A、B矩阵均可逆，则 $(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}$ （与转置类似： $(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ ）
若A可逆， $(A^{T})^{- 1} = (A^{- 1})^{T}$
若A可逆， $(k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1}$
若A可逆， $| A^{- 1} | = | A |^{- 1}$
若A可逆，则 $A^{*}$ （伴随矩阵）也可逆

【什么时候方阵可逆】
定理： A方阵可逆的充分必要条件为 $| A | \neq 0$ ，即A的行列式不等于0，则A方阵可逆。

下面介绍如何求A方阵的逆矩阵。

伴随矩阵法

通过伴随矩阵的性质1，

A \times A^{*} = A^{*} \times A = | A | E

等号两边同时除以A的行列式：

A \times \frac{A^{*}}{| A |} = \frac{A^{*}}{| A |} \times A = E

再结合逆矩阵的定义：

A \times B = B \times A = E

可推导出：

A^{- 1} = \frac{A^{*}}{| A |}

初等变换法（推荐）

见后面。

7.解矩阵方程

需要注意以下几点：

矩阵只能与矩阵相加减。
等号两边消项时，要同时左乘或者同时右乘。
不要把矩阵放到分母，而应该写成逆矩阵。
取逆矩阵时，需要先判断矩阵是否可逆。
取逆矩阵时，要用初等变换法去求，而不要用伴随矩阵法（因为计算复杂）

8.分块矩阵

【定义】

假设有以下3阶方阵：

$(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 4 \end{matrix})$

将矩阵分成以下4个矩阵：

$(\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 1 & 1 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} 4 \end{matrix})$

并且重新组成一个矩阵：

$A^{'} = (\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix})$

则将A'称为分块矩阵。除了上面的分法，还可以按别的方法去分；分出的块大小不限制，只要切分后仍为矩阵即可。

【计算】

加法： $(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}) + (\begin{matrix} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{1} + B_{1} & A_{2} + B_{2} \\ A_{3} + B_{3} & A_{4} + B_{4} \end{matrix})$

数乘： $k (\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} k A_{1} & k A_{2} \\ k A_{3} & k A_{4} \end{matrix})$

乘法： $(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \end{matrix}) + (\begin{matrix} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} A_{1} B_{1} + A_{2} B_{3} & A_{1} B_{2} + A_{2} B_{4} \\ A_{3} B_{1} + A_{4} B_{3} & A_{3} B_{2} + A_{4} B_{4} \end{matrix})$

两分块矩阵可相乘的前提： $A_{i k}$ 必须与 $B_{k j}$ 可乘。
那什么时候不可乘呢？见2.矩阵的运算

转置： $A = (\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ A_{4} & A_{5} & A_{6} \end{matrix})$
$A^{T} = (\begin{matrix} A_{1}^{T} & A_{4}^{T} \\ A_{2}^{T} & A_{5}^{T} \\ A_{3}^{T} & A_{6}^{T} \end{matrix})$

9.初等变换（重要）

初等变换：elementary transformation

9.1 什么是初等变换

就是将一个矩阵，变成另一个同型矩阵。

9.2 有哪些常见的初等变换

交换两行
$(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ C_{4} & C_{5} & C_{6} \end{matrix})$ --> $(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ C_{4} & C_{5} & C_{6} \\ B_{4} & B_{5} & B_{6} \end{matrix})$
用k(k!=0)乘以其中的某一行
$(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ C_{4} & C_{5} & C_{6} \end{matrix})$ --> $(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ k B_{4} & k B_{5} & k B_{6} \\ C_{4} & C_{5} & C_{6} \end{matrix})$
某一行的n倍加的另外一行
$(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & A_{3} \\ B_{4} & B_{5} & B_{6} \\ C_{4} & C_{5} & C_{6} \end{matrix})$ --> $(\begin{matrix} A_{1} + 4 C_{1} & A_{2} + 4 C_{2} & A_{3} + 4 C_{3} \\ k B_{4} & k B_{5} & k B_{6} \\ C_{4} & C_{5} & C_{6} \end{matrix})$

当A是方阵时，矩阵的行列式满足行列式的初等变换。（见行列式-6.行列式的初等变换）

9.3 矩阵的等价

定义：当A矩阵经过一系列的初等变换操作，变成B矩阵，则A与B两个矩阵是等价的。用 $A ≅ B$ 表示。

等价矩阵的性质

反身性
$A ≅ A$
对称性
若 $A ≅ B$ ，则有 $B ≅ A$
传递性
若 $A ≅ B$ ， $B ≅ C$ ，则有 $A ≅ C$

任意矩阵都可以通过初等变换，转化成标准型

初等变换后的矩阵，与原矩阵的秩相同。
初等变换后的矩阵，不改变原矩阵列向量之间的线性关系。

什么是线性关系？

9.4 初等方阵

定义

对单位矩阵E做一次初等变换（行、列）得到的矩阵

3种初等方阵

对换阵：通过交换两行得到的初等方阵，写作E(i,j)。即i行和j行交换后得到的初等方阵；

行列式：|E(i,j)| = -1

倍乘阵：
E(i(k))。即用k乘以第i行得到的初等方阵；

行列式：|E(i(k))| = k (k!=0)

倍加阵：
E(i,j(k))。即用k乘以第j行，然后加到第i行上得到的初等方阵。

行列式：|E(i,j(k))| = 1

初等方阵的性质

初等方阵均可逆
其逆矩阵也是初等方阵
其转置矩阵也是初等方阵

9.5 初等方阵与初等变换

实际验证后可知：
用初等方阵左乘A矩阵，相当于对A作相应的行初等变换；
用初等方阵右乘A矩阵，相当于对A作相应的列初等变换；

比如，对3行4列的矩阵A $(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 3 \\ 4 & 5 & 6 & 6 \\ 7 & 8 & 9 & 9 \end{matrix})$ ：

想交换2、3两行，就左乘一个3行3列的对换阵 $E (2, 3) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix})$ ；

想交换2、3两列，就右乘一个4行4列的对换阵 $E (2, 3) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ ；

初等变换的定理

定理1：对任意矩阵A，可以通过一系列的初等变换，最终化为标准型矩阵

定理1推论：若A、B等价 <====> 存在P、Q， PAQ = B

定理2：A可逆的充要条件为 A的标准型为单位矩阵E

通过初等变换，将矩阵化为标准型（重要）

温习一下什么是（对角线）标准型矩阵：左上角到右下角，连续出现1，然后出现0的矩阵

标准型矩阵： $A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

初等变换求逆矩阵（重要）

假设要对矩阵A求逆矩阵 $A^{- 1}$ ；

首先，A必须是方阵，非方阵没有逆矩阵；
由定理2可知，逆矩阵 $A^{- 1}$ 可以通过对单位矩阵E进行一系列初等变换求得： $Q_{1} Q_{2} . . . Q_{n} E = A^{- 1}$
左右两边同时右乘矩阵A，则有： $Q_{1} Q_{2} . . . Q_{n} A = E$
由1、2中的式子，我们可以发现：只要我们把“将A变换成单位矩阵E进行的初等行变换”用到单位矩阵E上，便可以求得A的逆矩阵。

例题：

$A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ - 3 & 2 & 5 \end{matrix})$ ，求A的可逆矩阵。

答：

我们先将A矩阵和单位矩阵以下面的形式写下来：

$(A, E) = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ - 3 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array})$

左边的3x3是A矩阵，右边的3x3是单位矩阵。

只要将左边的3x3通过初等行变换（左乘）转换成单位矩阵E，则右边的3x3就是A的可逆矩阵。

下面开始对矩阵进行初等行变换。

第1行乘以-2，再加到第2行，可以将 $a_{21}$ 变为0

$(A, E) = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & - 2 & 1 & 0 \\ - 3 & 2 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{array})$

第1行乘以3，再加到第3行，可以将 $a_{31}$ 变为0

$(A, E) = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 8 & 3 & 0 & 1 \end{array})$

第2行乘以-2，再加到第3行，可以将 $a_{32}$ 变为0

$(A, E) = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & - 2 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 12 & 7 & - 2 & 1 \end{array})$

第3行乘以- $\frac{1}{12}$ ，再加到第一行，可以将 $a_{13}$ 变为0

$(A, E) = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{12} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \\ 0 & 1 & - 2 & - 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 12 & 7 & - 2 & 1 \end{array})$

第3行乘以 $\frac{1}{6}$ ，再加到第一行，可以将 $a_{23}$ 变为0

$(A, E) = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{12} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{6} & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 12 & 7 & - 2 & 1 \end{array})$

最后，第3行乘以 $\frac{1}{12}$ ，左边就变成了单位矩阵E，右边则是我们需要的逆矩阵 $A^{- 1}$

$(A, E) = (\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & \frac{5}{12} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{5}{6} & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{7}{12} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{12} \end{array})$

即 $A^{- 1} = (\begin{matrix} \frac{5}{12} & \frac{1}{6} & - \frac{1}{12} \\ - \frac{5}{6} & \frac{2}{3} & \frac{1}{6} \\ \frac{7}{12} & - \frac{1}{6} & \frac{1}{12} \end{matrix})$

如果左边化不出来单位矩阵E，证明矩阵A不可逆。可以尝试自己证明。

10. 矩阵的秩(rank)

10.1 矩阵的k阶子式

某个矩阵的k阶子式，就是拿出该矩阵的某k行、某k列，构成的一个行列式。

示例：

$A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \\ - 3 & 2 & 5 & 4 \end{matrix})$

对于矩阵A，我们拿出它的第1,2行、第1,2列的元素，构成行列式：

$| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{matrix} | = 1$

则该行列式为矩阵A的其中一个2阶子式。

我们拿出它的第1,2行、第3,4列的元素，又可以构成另外一个2阶子式：

$| \begin{matrix} 1 & 4 \\ 0 & 4 \end{matrix} | = 4$

10.2 秩的定义

矩阵的秩，就是该矩阵非零子式的最高阶数。

矩阵A的秩，用r(A)表示。比如矩阵A的秩为5，写作r(A) = 5。

示例：

$A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 4 \\ 2 & 2 & 2 & 2 \end{matrix})$

1阶子式： 1,1,1,1,2,1,...
2阶子式： -1,-1,4,... 3阶子式： 0,0

因为矩阵A的3阶子式都为0，所以矩阵的非零子式的最高阶数为2，即秩为2。

【注意】

r(0) = 0
对于 $A_{m n}$ ，0<=r(A)<=min{m,n}
若r(A) = m，记为行满秩；r(A) = n，记为列满秩
若r(A) <min{m,n}，称为降秩
“A是方阵，且A满秩” 的充分必要条件是 “A可逆”（因为方阵A满秩，所以r(A)=n，即A的n阶子式不等于0，即A的行列式不等于0，所以A可逆）